ЯК знайти монотонність функції

Монотонність - це визначення поведінки функції на відрізку числової осі. Функція може бути монотонно зростаючою або монотонно спадною. На ділянці монотонності функція неперервна.

Інструкція

Якщо на деякому числовому проміжку з ростом аргументу функція збільшується, то на цій ділянці функція монотонно зростає. Графік функції на ділянці монотонного зростання спрямований знизу вгору. Якщо кожному меншому значенню аргументу відповідає зменшувана в порівнянні з попередньою величина функції, то така функція є монотонно спадною, а її графік постійно знижується.

Монотонні функції мають певні властивості. Наприклад, сума монотонно зростає (убуває) функцій є зростаюча (спадна) функція. При множенні зростаючої функції на постійний позитивний множник ця функція зберігає монотонний зростання. Якщо ж постійний множник менше нуля, то функція з монотонно зростаючою стає монотонно спадною.

Межі інтервалів монотонного поведінки функції визначаються при дослідженні функції за допомогою першої похідної. Фізичний зміст першої похідної функції - це швидкість зміни даної функції. У зростаючої функції швидкість постійно збільшується, іншими словами - якщо перша похідна на деякому інтервалі позитивна, функція на цій ділянці монотонно зростаюча. І навпаки - якщо на відрізку числової осі перша похідна функції менше нуля, то ця функція монотонно убуває в межах інтервалу. Якщо похідна дорівнює нулю, то значення функції не змінюється.

Для дослідження функції на монотонність на заданому інтервалі за допомогою першої похідної визначте, чи належить даний інтервал до області допустимих значень аргументу. Якщо функція на даному відрізку осі існує і дифференцируема, знайдіть її похідну. Визначте умови, за яких похідна більше або менше нуля. Зробіть висновок про поведінку досліджуваної функції. Наприклад, похідна лінійної функції є постійне число, що дорівнює множнику при аргументі. При позитивному значенні цього множника початкова функція монотонно зростає, при негативному - монотонно убуває.