Як обчислити функцію і побудувати графік

Для того щоб обчислити функцію і побудувати графік, потрібно виконати наступні дії: знайти область визначення, проаналізувати поведінку функції на границях цієї області (вертикальні асимптоти), досліджувати на парність, визначити проміжки опуклості і угнутості, виявити похилі асимптоти і розрахувати проміжні значення.

Область визначення

Спочатку передбачається, що нею є нескінченний інтервал, потім на нього накладаються обмеження. Якщо у виразі функції зустрічаються наступні подфункции, вирішите відповідні нерівності. Їх сукупний результат і буде областю визначення:
• Корінь парному ступеня від? з показником у вигляді дробу з парних знаменником. Вираз, що стоїть під його знаком, може бути тільки позитивним чи нулем:? ? 0;
• Логарифмічні вираз виду log_b? >?> 0;
• Дві тригонометричні функції тангенс і котангенс. Їхній аргумент - міра кута, яка не може бути рівною? • k +? / 2, інакше функція не має сенсу. Отже,? ? ? • k +? / 2;
• Арксинус і арккосинус, які мають строгу область визначення -1? ? ? 1;
• Степенева функція, показник якої - інша функція:? ^ F>? > 0;
• Дріб, утворена ставленням двох функцій? 1 /? 2. Очевидно, що? 2? 0.

Вертикальні асимптоти

Якщо вони є, то розташовуються на кордонах області визначення. Щоб це з'ясувати, вирішите односторонні межі при х> A-0 і х> В + 0, де х - аргумент функції (абсциса графіка), А і В - початок і кінець інтервалу області визначення. Якщо таких інтервалів декілька, досліджуйте всі їхні граничні значення.

Парність / непарність

Підставте в вираз функції аргумент (-х) замість х. Якщо результат не зміниться, тобто ? (- Х) =? (Х), то вона парна, якщо ж? (- Х) = -? (Х), - непарна. Це необхідно для того, щоб виявити наявність симетрії графіка відносно осі ординат (парність) або початку координат (непарність).

Зростання / спадання, точки екстремуму

Обчисліть похідну функції і вирішіть два нерівності? '(Х)? 0 і? '(Х)? 0. У результаті ви отримаєте проміжки зростання / спадання функції. Якщо в якійсь точці похідна звертається в нуль, то вона називається критичною. Можливо, вона також є точкою перегину, з'ясуйте це в наступному дії.

У будь-якому випадку це точка екстремуму, в якій відбувається перелом, зміна одного стану на інше. Наприклад, якщо спадна функція стає зростаючою, то це точка мінімуму, якщо навпаки - максимуму. Зверніть увагу, що похідна може мати свою область визначення, більш сувору.

Опуклість / угнутість, точки перегину

Знайдіть другу похідну і вирішите аналогічні нерівності? '' (Х)? 0 і? '' (Х)? 0. На цей раз результатами будуть інтервали опуклості і угнутості графіка. Точки, в яких друга похідна дорівнює нулю, є стаціонарними і можуть бути точками перегину. Перевірте, як поводиться функція? '' До і після них. Якщо змінює знак, значить, це точка перегину. Крім того, перевірте на цю властивість критичні точки, визначені в попередньому дії.

Похилі асимптоти

Асимптоти - великі помічники при побудові графіка. Це прямі лінії, до яких наближається нескінченна гілка кривої функції. Вони задаються рівнянням у = k • х + b, де коефіцієнт k дорівнює межі lim? / Х при х>?, А доданок b - такому ж межі виразу (? - K • х). При k = 0 асимптота проходить горизонтально.

Обчислення в проміжних точках

Це допоміжне дію, щоб домогтися більшої точності побудови. Підставте декілька довільних значень з області визначення в функцію.

Побудова графіка

Накресліть асимптоти, нанесіть екстремуми, відзначте точки перегинів і проміжні точки. Схематично покажіть проміжки зростання та спадання, опуклості і угнутості, наприклад, знаками «+», «-» або стрілками. Проведіть лінії графіка по всіх точках, наблизьте до асимптотам, згинаючи відповідно зі стрілками або знаками. Перевірте симетрію, виявлену на третьому кроці.