ЯК знайти асимптоти функції

Повне дослідження функції і побудова її графіка припускають цілий спектр дій, включаючи знаходження асимптот, які бувають вертикальними, похилими і горизонтальними.

Інструкція

Асимптоти функції застосовуються для полегшення побудови її графіка, а також дослідження властивостей її поведінки. Асимптота - це пряма лінія, до якої наближається нескінченна гілка кривої, заданої функцією. Розрізняють вертикальні, похилі і горизонтальні асимптоти.

Вертикальні асимптоти функції паралельні осі ординат, це прямі виду x = x0, де x0 - гранична точка області визначення. Граничної називається точка, в якій односторонні межі функції є нескінченними. Для того, щоб знайти асимптоти цього роду, потрібно досліджувати її поведінку, обчисливши межі.

Знайдіть вертикальну асимптоту функції f (х) = х? / (4 • х? - 1). Для початку визначте її область визначення. Це може бути тільки значення, при якому знаменник звертається в нуль, тобто вирішите рівняння 4 • х? - 1 = 0> х = ± 1/2.

Обчисліть односторонні межі: lim_ (х> -1/2) х? / (4 • х? - 1) = lim х? / ((2 • х - 1) • (2 • х + 1)) = + ?. lim_ (х> 1/2) х? / (4 • х? - 1) = - ?.

Таким чином, ви з'ясували, що обидва односторонніх межі є нескінченними. Отже, прямі х = 1/2 і х = -1 / 2 є вертикальними асимптотами.

Похилі асимптоти - це прямі виду k • х + b, в яких k = lim f / г та b = lim (f - k • х) при х> ?. Така асимптота стане горизонтальною при k = 0 і b ??.

Дізнайтеся, чи має функція з попереднього прикладу похилі або горизонтальні асимптоти. Для цього визначте коефіцієнти рівняння прямої асимптоти через наступні межі: k = lim (х? / (4 • х? - 1)) / х = 0-b = lim (х? / (4 • х? - 1) - k • х) = lim х? / (4 • х? - 1) = 1/4.

Отже, у цій функції є і похила асимптота, а оскільки виконується умова нульового коефіцієнта k і b, що не рівного нескінченності, то вона горізонтальная.Ответ: функція х? / (4 • х? - 1) має дві вертикальні x = 1 / 2- x = -1 / 2 і одну горизонтальну у = 1/4 асимптоти.