Як визначити найбільше значення функції

Дослідження поведінки будь функції завжди слід починати з пошуку області визначення. Зазвичай за умовою конкретної задачі потрібно визначити найбільшу значення функції або на всій цій області, або на конкретному її інтервалі з відкритими або закритими кордонами.

Виходячи з назви, найбільшим є таке значення функції y (x0), при якому для будь-якої точки області визначення виконується нерівність y (x0)? y (x) (х? x0). Графічно ця точка буде найвищою, якщо розташувати значення аргументу по осі абсцис, а саму функцію по осі ординат.

Щоб визначити найбільшу значення функції, дотримуйтесь алгоритму з трьох етапів. Врахуйте, що ви повинні вміти працювати з односторонніми і нескінченними межами, а також обчислювати похідну. Отже, нехай задана деяка функція y (x) і потрібно знайти її найбільшу значення на деякому інтервалі з граничними значеннями А і В.

З'ясуйте, чи входить цей інтервал в область визначення функції. Для цього необхідно її знайти, розглянувши всі можливі обмеження: присутність у вираженні дробу, логарифма, квадратного кореня і т.д. Область визначення - це безліч значень аргументу, при яких функція має сенс. Визначте, чи є даний інтервал його підмножиною. Якщо так, то переходьте до наступного етапу.

Знайдіть похідну функції і вирішите отримане рівняння, прирівнявши похідну до нуля. Таким чином, ви отримаєте значення так званих стаціонарних точок. Оцініть, чи належить хоч одна з них інтервалу А, В.

Розгляньте на третьому етапі ці точки, підставте їх значення в функцію. Залежно від типу інтервалу зробіть наступні додаткові дії. При наявності відрізка виду [А, В] граничні точки входять в інтервал, про це говорять квадратні дужки. Обчисліть значення функції при х = А і х = В. Якщо відкритий інтервал (А, В), граничні значення є виколотими, тобто не входять до нього. Вирішіть односторонні межі для х> А і х> В. Комбінований інтервал виду [А, В) або (А, В], одна з меж якого належить йому, інша - ні. Знайдіть односторонній межа при х, що прямує до виколоти значенням, а інше підставте у функцію. Нескінченний двосторонній інтервал (- ?, +?) або односторонні нескінченні проміжки види: [A, +?), (A, +?), (-? - B], (- ?, B). Для дійсних меж А і В дійте згідно вже описаним принципам, а для нескінченних шукайте межі для х> -? й г> +? відповідно.

Завдання на цьому етапі полягає в тому, щоб зрозуміти, чи відповідає стаціонарна точка найбільшим значенням функції. Це так, якщо вона перевищує значення, отримані описаними способами. У випадку, якщо задано кілька інтервалів, стаціонарне значення враховується тільки в тому з них, який його перекриває. Інакше розраховуйте найбільшу значення по граничним точкам інтервалу. Те ж робіть в ситуації, коли стаціонарних точок просто немає.