Як продифференцировать функцію

Метод диференціювання застосовується для знаходження функції, похідної від початкової. Похідна функція - це відношення межі приросту функції до приросту аргументу. Це найпоширеніше уявлення похідної, яку прийнято позначати знаком апострофа «'». Можливо неодноразове диференціювання функції, при цьому утворюються перша похідна f '(x), друга f' '(x) і т.д. Похідні вищих порядків позначають f ^ (n) (x).

Щоб продифференцировать функцію, можна скористатися формулою Лейбніца: (f * g) ^ (n) =? C (n) ^ k * f ^ (nk) * g ^ k, де C (n) ^ k- прийняті біноміальні коефіцієнти. Найпростіший випадок першої похідної легше розглянути на конкретному прикладі: f (x) = x ^ 3.

Отже, за визначенням: f '(x) = lim ((f (x) - f (x_0)) / (x - x_0)) = lim ((x ^ 3 - x_0 ^ 3) / (x - x_0)) = lim ((x - x_0) * (x ^ 2 + x * x_0 + x_0 ^ 2) / (x - x_0)) = lim (x ^ 2 + x * x_0 + x_0 ^ 2) при x, що прагне до значення x_0.

Позбавляємося від знака межі, підставляючи в отримане вираження значення x, рівне x_0. Отримуємо: f '(x) = x_0 ^ 2 + x_0 * x_0 + x_0 ^ 2 = 3 * x_0 ^ 2.

Розглянемо диференціювання складних функцій. Такими функціями є композиціями або суперпозиціями функцій, тобто результат однієї функції є аргументом для іншої: f = f (g (x)).

Похідна такої функції має вигляд: f '(g (x)) = f' (g (x)) * g '(x), тобто дорівнює добутку старшої функції по аргументу молодшої на похідну молодшої функції.

Щоб продифференцировать композицію з трьох і більше функцій, застосовують те ж правило за наступним принципом: f '(g (h (x))) = f' (g (h (x))) * (g (h (x))) '= f' (g (h (x))) * g '(h (x)) * h' (x).

Знання похідних деяких найпростіших функцій є гарною підмогою у вирішенні завдань на диференціальне числення: - похідна константи дорівнює 0-- похідна найпростішої функції аргументу в першого ступеня x '= 1-- похідна суми функцій дорівнює сумі їх похідних: (f (x) + g (x)) '= f' (x) + g '(x) - аналогічно похідна твори дорівнює добутку проізводних-- похідна приватного двох функцій: (f (x) / g (x))' = (f '(x ) * g (x) - f (x) * g '(x)) / g ^ 2 (x) - (C * f (x))' = C * f '(x), де C - константа- - при диференціюванні ступінь одночлена виноситься у вигляді множника, а сама ступінь знижується на 1: (x ^ a) '= a * x ^ (a-1) - тригонометричні функції sinx і cosx в диференціальному численні носять відповідно непарний і парний характер - (sinx) '= cosx і (cosx)' = - sinx-- (tg x) '= 1 / cos ^ 2 x-- (ctg x)' = - 1 / sin ^ 2 x.