ЯК знайти похідну функції

Методи диференціального обчислення використовуються при дослідженні характеру поведінки функції в математичному аналізі. Однак це не єдина сфера їх застосування, часто потрібно знайти похідну, щоб розрахувати граничні величини в економіці, обчислити швидкість або прискорення у фізиці.

Інструкція

Похідна функції в точці показує швидкість її зміни і обчислюється через теорію меж. Тому вона може мати як кінцеве, так і нескінченне значення. У другому випадку говорять, що вихідна функції не дифференцируема в цій точці. Існують правила, за якими можна знайти похідну найпростішої, елементарної і складною функції.

Запам'ятайте таблицю обчислення похідних найпростіших і деяких елементарних функцій: - З '= 0-- х' = 1-- (С • х) '= С • х' = С-- (sin х) '= соs х- (соs х ) '= - sin х-- (tv х)' = 1 / соs? х- (сtv х) '= -1 / sin? х-- b ^ х = b ^ х • ln b-- lоv_b х = 1 / (х • ln b).

Застосовуйте загальні правила діфференцірованія.Проізводная статечної функції виду х ^ n, де n> 1, дорівнює n • х ^ (n-1). Приклади: (х ^ 4) '= 4 • х? - (5 • х?)' = 5 • 3 • х? = 15 • х ?.

Похідна суми функцій знаходиться шляхом складання їх окремих похідних: (? Fi (х)) '=? Fi' (х). Приклади: (sin х + соs х) '= соs х - sin х- (х ^ 5 + 6 • х ^ 4 - 2 • х? + 14 • х)' = 5 • х ^ 4 + 24 • х? - 4 • х + 14. При диференціюванні многочлена його ступінь зменшується на 1.

Похідна твори, де обидва множники є функціями, дорівнює сумі двох елементів. У першому випадку це похідна першої функції і вихідне вираз другий, у другому випадку - навпаки: (f • v) '= f' • v + f • v'.Прімер: (5 ^ х • lоv_5 х) '= (5 ^ х)' • lоv_5 х + 5 ^ х • (lоv_5 х) '= 5 • х • ln 5 • lоv_5 х + 5 ^ х / (х • ln 5).

Дріб, де чисельник і знаменник - функції, диференціюється за більш складною формулою: (f / v) '= (f' • v - f • v ') / v ?. Приклад: ((х • sin х) / (5 • х? + 3)) '. Решеніе.К цьому виразу застосовні відразу два правила диференціювання: суми і добутку функцій одного і того ж аргументу: ((х • sin х) / (5 • х? + 3)) '= ((х • sin х)' • (5 • х? + 3) - х • sin х • (5 • х? + 3) ') / (5 • х? + 3)? = ((Sin х + х • соs х) • (5 • х? + 3) - х • sin х • 10 • х) / (5 • х? + 3) ?.

Розкрийте дужки і приведіть подібні: х • соs х - х • sin х • (5 • х - 3) / (5 • х? + 3) ?.

Щоб знайти похідну складною функції виду f (v (х)), продіфференціруйте старшу функцію f, прийнявши v за простий аргумент. Потім помножте результат на похідну v '(х). Наприклад: (tv (2 • х? + 3)) '= (tv х)' • (2 • х? + 3) '= 1 / соs? (2 • х? + 3) • 4 • х = 4 • х / соs? (2 • х? + 3).