ЯК обчислити приватну похідну

Приватні похідні - Основні складові повного диференціала функції. Це поняття відноситься до кожного з аргументів і передбачає обчислення виходячи з припущення, що інші аргументи в даному випадку є константами.

Інструкція

Щоб знайти повний диференціал функції кількох змінних, потрібно обчислити приватну похідну по кожній з них. Методи вирішення аналогічні знаходженню похідної функції одного аргументу за тим винятком, що в якості одного або кількох постійних доданків або множників виступають інші змінні.

Принципи визначення похідної базуються на диференціюванні найпростіших і тригонометричних функціях: • (x ^ a) '= a • x ^ (a-1) - • (a ^ x)' = a ^ x • ln (a) - • (sin х ) '= cоs х- • (cоs x)' = - sin х- • (tg х) '= 1 / cоs? х- • (сtg х) '= - 1 / sin? х- • С '= 0, С - константа- • х' = 1.

Похідна функції, що містить змінні високого ступеня, визначається за формулою Лейбніца: f ^ (n) =? C (n) ^ k • f ^ (nk), де C (n) ^ k - біноміальні коефіцієнти.

Розгляньте приклад: f = 2 • х • у? + 5 • y • z ^ 5 + 3 • x? • vz.

Визначте приватну похідну по х. При цьому кожне з доданків подайте у вигляді функції від х. У даному випадку елементи 2 • у ?, 5 • y • z ^ 5 і 3 • vz будуть постійними величинами: f'x = 2 • y? + 0 + 6 • x • vz-

При визначенні приватної похідної за y прийміть за постійні вирази 2 • x, 5 • z ^ 5 і 3 • x? • vz: f'y = 4 • x • у + 5 • z ^ 5 + 0-

Приватна похідна по аргументу z передбачає оголошення константами множники 5 • y, 3 • x? і доданок 2 • x • y?: f'z = 0 + 25 • y • z ^ 4 + 3/2 • x? / vz.

Приватні похідні використовуються при вирішенні диференціальних рівнянь. При цьому більше поширена запис? F /? X, яка на відміну від звичайної похідної df / dx сприймається як єдине позначення, а не як відношення приросту функції і аргументу. Елементи записи не можна розділити.

Результати описаного прикладу можна записати у вигляді повного диференціала функції: df =? F /? X • dx +? F /? Y • dу +? F /? Z • dz = 2 • (y? + 3 • x • vz) • dx + (4 • x • y + 5 • z ^ 5) • dy + (25 • y • z ^ 4 + (3 • x?) / (2 • vz)) • dz.

Щоб знайти приватні похідні більш високих порядків, потрібно продифференцировав функцію відповідну кількість разів. Наприклад, повний диференціал другого порядку наведеної функції буде виглядати наступним чином: d? F = (6 • vz) • d? X + (4 • x) • d? У + (-3 / 4 • x? / Vz?) • d? z.А диференціал третього порядку ось так: d? f = 0 • d? x + 0 • d? y + (9/8 • x? / vz ^ 5) • d? z і т.д.