ЯК обчислити диференціал

Диференціал - Одне з центральних понять математичного аналізу як один з методів вивчення властивостей функцій. Щоб обчислити диференціал, необхідно знайти похідну того ж порядку, а потім помножити її на приріст аргументу.

Інструкція

Щоб обчислити диференціал du, знайдіть похідну того ж порядку і помножте на диференціал незалежної змінної dх. У випадку декількох аргументів U (х, у, z) по кожному з них визначте приватну похідну (беручи решта за постійні). Підсумувавши всі величини, ви отримаєте повний диференціал: dU =? U /? Х • dх +? U /? У • dу +? U /? Z • dz.

Для спрощення роботи з диференціалами були введені деякі найбільш поширені формули. Наприклад: • dС = 0, С - константа- • для u = х ^ а - du = а • х ^ (а-1) dх- • якщо u = а ^ х, то du = а ^ х • ln а dх - • d (lоg_а х) = (1 / (х • ln а)) dх, в окремому випадку d (ln х) = (1 / х) dх- • d (sin х) = cоs х dх- • d ( cоs х) = - sin х dх- • d (tg х) = (1 / cоs? х) dх-і т.д.

Крім того, існують правила розрахунку диференціалів сум, різниці, добутку і частки двох функцій: • d (u ± g) = du ± dg- • d (u • g) = gdu + udg- • d (u / g) = ( gdu - udg) / g ?.

Приклад: нехай у = х? - 12 • х? + Х • tgх + ln (2 • х).

РешеніеПосмотріте, які правила і теореми можна використовувати в даному випадку. Тригонометрична функція tg х і логарифм ln (2 • х) є табличними величинами, похідні яких легко знайти за основними формулами диференціювання: (tg х) '= (1 / cоs? Х) - (ln 2х)' = 2 / г.

Також у вираженні функції у присутній твір х • tg х, продіфференціруйте його згідно з правилом: d (х • tg х) = tg х • (х'dх) + х • (tg х) 'd х = (tg х + х / cоs ? х) dх.

Отже, у '= 3 • х? - 24 • х + tg х + х / cоs? х + 2 / г> dу = (3 • х? - 24 • х + tg х + х / cоs? х + 2 / г) dх.

Застосування понять диференціала і похідної функції виходить за рамки математичних обчислень. Вони широко використовуються в різних прикладних областях, наприклад, в механіці швидкість матеріальної точки дорівнює диференціалу шляху, який є функцією за часом. В економіці таким чином визначають граничні величини, інструменти операційного аналізу для оцінки ефективності виробничої стратегії.