ЯК брати інтеграл :: прийоми при взятті інтегралів

Поняття «взяття інтеграла»Тісно пов'язане з перебуванням первісної функції. Функція F (x) називається первісною до f (x), якщо її похідна F '(x) дорівнює f (x). Так як похідна будь константи дорівнює нулю, то і первісних у f (x) буде нескінченно багато. Всі вони збігаються між собою з точністю до константи. Традиційне позначення невизначеного інтеграла представлено на рис.1.

Вам знадобиться

Таблиця найпростіших інтегралів.

Інструкція

У математиці існує досить велика кількість способів «взяти» інтеграл. У даній статті коротко розглянуті ті з них, які прийнято називати найпростішими прийомами інтегрування. Ці прийоми використовують властивості невизначених інтегралів і тотожні перетворення підінтегральної функції.

1. Безпосереднє інтегрірованіе.Непосредственное інтегрування полягає в обчисленні інтегралів за допомогою їх певних властивостей і спеціальних таблиць. Приклад 1. Обчислити інтеграл? (4 / (cosx ^ 2) - 3cosx + 2 / (x-1)) dxРешеніе. ? (4 / (cosx ^ 2) - 3cosx + 2 / (x-1)) dx = 4? Dx / (cosx ^ 2) - 3? Cosxdx +2? Dx / (x-1) = 4tgx-3sinx + 2ln | x-1 | + C.

Тепер можна розглянути правило, яке дозволяє розширити можливості іcпользованія таблиці основних інтегралів. Якщо? F (x) dx = F (x) + C, то? F (kx + b) dx = (1 / k) F (kx + b) + CПрімер 2.? Sin (5x) dx = - (1 / 5) cos (5x) + C.

2. Розкладання підінтегральної функції. Даний прийом полягає в перетворенні підінтегральної функції, використовуючи формули алгебри і тригонометрії. Підінтегральна функція представляється у вигляді суми функцій, інтеграли від яких можна легко брать.Прімер 3.? (1+ (cosx) ^ 2 / (1 + cos (2x)) dx = [1 + cos (2x) = 2 (cosx) ^ 2] =? (1+ (cosx) ^ 2/2 (cosx) ^ 2) dx == (1/2)? 1 / (cosx) ^ 2) dx + (1/2)? dx = (1 / 2) (tgx + x) + C.Прімер 4.? dx / ((sinx) ^ 2) (cosx) ^ 2)) =? ((sinx) ^ 2 + (cosx) ^ 2) / ((sinx) ^ 2) (cosx) ^ 2)) dx =? (1 / (cosx) ^ 2 + 1 / (sinx) ^ 2) dx = tgx-ctgx + C.

3. Підбиття під знак диференціала. Цей прийом заснований на властивості інваріантності формул інтегрування. Підінтегральна функція перетвориться до виду f (u (x)) u '(x), а потім співмножник u' (x) підводиться під знак диференціала (інтегрується) - u '(x) dx = d (u (x)), після чого застосовується формула? (f (u (x)) du (x)) = u (x) + C.

Приклад 5.? (Arctgx / (1 + x ^ 2)) dx = | dx / (1 + x ^ 2) = d (arctgx) | =? (Arctgxd (arctgx)) = (1/2) (arctgx) ^ 2 + C.Прімер 6.? xsqrt (1-x ^ 2) dx = | d (1-x ^ 2) = - 2xdx | = - (1/2)? ((1-x ^ 2) ^ ( 1/2 + 1)) / (1/2 + 1) + C = - (1/3) sqrt ((1-x ^ 2) ^ 3) + C.Прімер 7.? ((cosx) ^ 3) sin (2x) dx = 2? (cosx) ^ 3) cosxsinxdx = -2? ((cosx) ^ 4) d (cosx) = - (2/5) (cosx) ^ 5 + C.