Як обчислити межі функцій, не користуючись засобами диференційного обчислення

Безпосереднє обчислення меж пов'язано, в першу чергу, з межами раціональних дробів Qm (x) / Rn (x), де Q і R многочлени. Якщо обчислюється межа при х> a (a - число), то може виникнути невизначеність, наприклад [0/0]. Для її усунення просто поділіть чисельник і знаменник на (х-а). Операцію повторюйте до тих пір, поки невизначеність не пропаде. Розподіл многочленів здійснюється практично так само, як і ділення чисел. Воно засноване на тому, що розподіл і множення - зворотні операції. Приклад наведено на рис. 1.

Застосування першого чудового краю. Формула для першого чудового краю наведена на рис. 2а. Для його застосування приведіть вираз вашого прикладу до відповідного виду. Це завжди можна зробити чисто алгебраїчно або заміною змінної. Головне - не забувайте, що якщо синус береться від kx, то і знаменник теж kx. Приклад розглянуто на рис. 2e.Кроме того, якщо врахувати, що tgx = sinx / cosx, cos0 = 1, то, як наслідок, з'являється формула (див. Рис. 2b). arcsin (sinx) = x і arctg (tgx) = x. Тому є ще два слідства (рис 2с. І 2d). Виник ще досить широкий набір способів обчислення меж.

Застосування другого чудово межі (див. Рис. 3а) Межі такого типу використовуються для усунення невизначеностей типу [1 ^?]. Для вирішення відповідних завдань просто перетворіть умова до структури, відповідної увазі межі. Пам'ятайте, що при зведенні в ступінь вираження, що вже знаходиться в будь-якій мірі, їх показники перемножуються. Відповідний приклад наведено на рис. 2е.Пріменіте підстановку? = 1 / х і отримаєте наслідок з другого чудового межі (рис. 2b). Прологаріфміровав по підставі а обидві частини цього слідства, прийдете до другого слідству, в тому числі і при а = е (див. Рис. 2с). Зробите заміну а ^ x-1 = y. Тоді x = log (a) (1 + y). При прагненні х до нуля, у також прагне до нуля. Тому виникає і третє слідство (див. Рис. 2d).