Як знаходити межі послідовності

Числову послідовність можна розуміти як функцію xn = f (n), де n - натуральне число (позначається {xn}). Самі числа xn називаються елементами або членами послідовності, n - номер члена послідовності. Якщо функція f (n) задана аналітично, тобто формулою, то xn = f (n) називають формулою загального члена послідовності.

Число а називається межею послідовності {xn}, якщо для будь-якого?> 0 існує номер n = n (?), Починаючи з якого виконується нерівність | xn-a |< ?. Аналитическое выражение предела проиллюстрировано на рисунке 1а.Особый интерес представляет предел последовательности (см. рис. 1b). Здесь е=2,718281828459045… – трансцендентное число, называемое числом Эйлера, которое в математике является основанием натурального логарифма.

Перший спосіб обчислення границі послідовності заснований на її визначенні. Правда слід запам'ятати, що шляхів безпосереднього пошуку межі він не дає, а дозволяє лише довести, що яке-небудь число а є (або не є) пределом.Прімер 1. Довести, що послідовність {xn} = {(3n ^ 2-2n -1) / (n ^ 2-n-2)} має межу а = 3.Решеніе. Проводьте доказ шляхом застосування визначення в зворотному порядку. Тобто справа наліво. Попередньо перевірте - чи немає можливості спростити формулу для xn.хn = (3n ^ 2 + 4n + 2) / (n ^ 2 + 3n22) = ((3n + 1) (n + 1)) / ((n + 2) (n + 1)) =) = (3n + 1) / (n + 2) .Розглянемо нерівність | (3n + 1) / (n + 2) -3 | 0 можна знайти будь-яке натуральне число n ?, більшу -2 + 5 / ?.

Приклад 2. Довести, що в умовах прикладу 1 число а = 1 не є межею послідовності попереднього прикладу. Рішення. Знову спростите загальний член послідовності. Візьміть? = 1 (це будь-яке число> 0) .Запішіте заключающее нерівність загального визначення | (3n + 1) / (n + 2) -1 |

Завдання безпосереднього обчислення границі послідовності досить одноманітні. Всі вони містять відносини полиномов щодо n або ірраціональних виразів щодо цих поліномів. Приступаючи до рішення, винесіть за дужки (знак радикала) складову, що знаходиться в старшій ступеня. Нехай для чисельника вихідного вираження це призведе до появи множника a ^ p, а для знаменника b ^ q. Очевидно, що всі залишилися доданки мають вигляд С / (nk) і прагнуть до нуля при n> k (n прямує до нескінченності). Після цього запишіть відповідь: 0, якщо pq.

Вкажемо не традиційний спосіб знаходження межі послідовності і нескінченних сум. Будемо використовувати функціональні послідовності (їх члени функції, визначені на деякому проміжку (a, b)). Приклад 3. Знайти суму виду 1 + 1/2! +1/3! + ... + 1 / n! + ... = S .Рішення. Будь-яке число а ^ 0 = 1. Покладіть 1 = exp (0) і розгляньте функціональну послідовність {1 + x + x ^ 2/2! + X ^ 3/3! + ... + X ^ / n!}, N = 0,1,2, .., n .... Легко помітити, що записаний поліном збігається з многочленом Тейлора за ступенями x, який в даному випадку збігається з exp (x). Візьміть х = 1. Тогдаexp (1) = e = 1 + 1 + 1/2! +1/3! + ... + 1 / n! + ... = 1 + s. Відповідь s = e-1.