ЯК виділити квадрат двочлена з квадратного тричлена

Метод виділення повного квадрата двочлена з квадратного трехчлена є основою алгоритму розв'язання рівнянь другого ступеня, а також застосовується при спрощення громіздких виразів алгебри.

Інструкція

Метод виділення повного квадрата застосовується як для спрощення виразів, так і при вирішенні квадратного рівняння, яке, по суті, є тричленна другого ступеня від однієї змінної. В основі методу лежать деякі формули скороченого множення многочленів, а саме окремі випадки Біному Ньютона - квадрат суми і квадрат різниці: (а? B)? = А? ? 2 • а • b + b ?.

Розглянемо застосування методу для вирішення квадратного рівняння виду а • х? + B • х + с = 0. Щоб виділити квадрат двочлена з квадратного трехчлена, розділіть обидві частини рівняння на коефіцієнт при найбільшій мірі, тобто при х?: а • х? + B • х + с = 0 / а> х? + (B / а) • х + с / а = 0.

Уявіть отримане вираження у вигляді: (х? + 2 • (b / 2а) • х + (b / 2а)?) - (B / 2а)? + С / а = 0, де одночлен (b / а) • х перетворений в подвоєне твір елементів b / 2а і х.

Поверніть першу дужку в квадрат суми: (х + b / 2а)? - ((B / 2а)? - С / а) = 0.

Тепер можливі дві ситуації знаходження рішення: якщо (b / 2а)? = С / а, то рівняння має єдиний корінь, а саме x = -b / 2а. У другому випадку, коли (b / 2а)? = С / а, рішень буде наступним: (х + b / 2а)? = ((B / 2а)? - С / а)> х = -b / 2а + v ((b / 2а)? - С / а) = (-b + v (b? - 4 • а • с) ) / (2 • а).

Двоїстість рішення випливає з властивості квадратного кореня, результат обчислення якого може бути як позитивним, так і негативним, в той час як модуль залишається незмінним. Таким чином, виходить два значення змінної: х1,2 = (-b ± v (b? - 4 • а • с)) / (2 • а).

Так, використовуючи метод виділення повного квадрата, ми прийшли до поняття дискримінанта. Очевидно, що він може бути або нулем, або позитивним числом. При негативному дискримінант рівняння не має рішень.

Приклад: виділити квадрат двочлена у виразі х? - 16 • х + 72.

РешеніеПерепішіте тричлен у вигляді х? - 2 • 8 • х + 72, звідки випливає, що складовими повного квадрата двочлена є 8 і х. Отже, для його завершення потрібно ще число 8? = 64, яке можна відняти з третього члена 72: 72 - 64 = 8. Тоді вихідне вираз перетвориться в: х? - 16 • х + 72> (х - 8)? + 8.

Спробуйте вирішити це рівняння: (х-8)? = -8 < 0 > дійсних коренів немає.