ЯК швидко вирішити рівняння

Щоб швидко вирішити рівняння, потрібно максимально оптимізувати кількість кроків по знаходженню його коренів. Для цього застосовують різні методи приведення до стандартного вигляду, який передбачає застосування відомих формул. Одним із прикладів такого рішення може служити використання дискримінанту.

Інструкція

Рішення будь-якої математичної задачі може бути розділене на кінцеве число дій. Щоб швидко вирішити рівняння, потрібно правильно визначити його вид, а потім підібрати відповідне раціональне рішення з оптимальної кількості кроків.

Практичні застосування математичних формул і правил увазі теоретичні знання. Рівняння - це досить широка в рамках шкільної дисципліни тема. З цієї причини в самому початку її вивчення потрібно вивчити деякий набір основ. До них відносяться види рівнянь, їх ступеня і відповідні методи рішення.

Учні середньої школи, як правило, вирішують приклади на використання однієї змінної. Найпростішим видом рівняння з однією невідомою є лінійне рівняння. Наприклад, х - 1 = 0, 3 • х = 54. У цьому випадку потрібно просто перенести аргумент х в одну сторону рівності, а числа - в іншу, використовуючи різні математичні дії:
х - 1 = 0 | + 1- x = 1;
3 • х = 54 |: 3- х = 18.

Не завжди лінійне рівняння можна виявити відразу. Приклад (х + 5)? - Х? = 7 + 4 • х теж відноситься до цього виду, однак з'ясувати це можна лише після розкриття дужок:
(Х + 5)? - Х? = 7 + 4 • х
х? + 10 • х + 25 - х? = 7 + 4 • х> 6 • х = 18> х = 3.

У зв'язку з описаною трудністю при визначенні ступеня рівняння не слід спиратися на найбільший показник ступеня вираження. Спочатку спростите його. Старша друга ступінь є ознакою квадратного рівняння, яке, в свою чергу, буває неповним і наведеним. Кожен підвид увазі свій оптимальний метод вирішення.

Неповне рівняння - це рівність виду х? = C, де C - число. У цьому випадку потрібно просто витягти квадратний корінь з цього числа. Тільки не забудьте про другий негативний корінь х = -vC. Розгляньте кілька прикладів рівняння, що приводиться до неповного квадратному:
• Заміна змінної:
(Х + 3)? - 4 = 0
[Z = х + 3]> z? - 4 = 0- z = ± 2> х1 = 5 х2 = 1.
• Спрощення виразу:
6 • х + (х - 3)? - 13 = 0

6 • х + х? - 6 • х + 9 - 13 = 0
х? = 4
х = ± 2.

У загальному вигляді квадратне рівняння виглядає так: A • х? + B • х + C = 0, а метод його рішення ґрунтується на розрахунку дискримінанту. При B = 0 виходить неповне рівняння, а при A = 1 - наведене. Очевидно, що в першому випадку дискримінант шукати не має сенсу, до того ж це не сприяє збільшенню швидкості рішення. У другому випадку також існує альтернативний спосіб, який називається теоремою Вієта. Відповідно до неї сума і добуток коренів наведеного рівняння пов'язані зі значеннями коефіцієнта при першого ступеня і вільного члена:

х? + 4 • х + 3 = 0
х1 + х2 = -4- х1 • х2 = 3 - співвідношення Вієта.
х1 = -1- х2 = 3 - за методом підбору.

Пам'ятайте, що за умови цілочисельного ділення коефіцієнтів рівняння В і С на А, наведене рівняння можна одержати з вихідного. Інакше вирішуйте через дискримінант:
16 • х? - 6 • х - 1 = 0
D = B? - 4 • A • C = 36 + 64 = 100
х1 = (6 + 10) / 32 = 1 / 2- х2 = (6 - 10) / 32 = -1/8.

Рівняння вищих ступенів, починаючи від кубічного A • х? + B • х? + C • х + D = 0, вирішуються різними способами. Один з них - підбір цілих дільників вільного члена D. Потім вихідний многочлен ділиться на двочлен виду (х + х0), де х0 - підібраний корінь, і ступінь рівняння знижується на одиницю. Точно так само можна розв'язувати рівняння четвертого ступеня і вище.

Розгляньте приклад з попередніми приведенням до загального вигляду:
х? + (Х - 1)? + 3 • х - 4 = 0
х? + Х? + Х - 3 = 0

Можливі коріння: ± 1 і ± 3. Підставте їх по черзі і подивіться, чи вийде рівність:
1 - так;
-1 - ні;
3 - ні;
-3 - ні.

Отже, ви знайшли перше рішення. Після поділу на двочлен (х - 1) виходить квадратне рівняння х? + 2 • х + 3 = 0. Теорема Вієта не дає результатів, отже, обчисліть дискриминант:
D = 4 - 12 = -8 < 0.

Школярі середніх класів можуть зробити висновок, що корінь у кубічного рівняння всього один. Однак старші учні, які вивчають комплексні числа, легко визначать залишилися два рішення:
х = -1 ± v2 • i, де i? = -1.