Як візначіті потенціалі точок

Векторне поле утворює векторна величина, задана у виде Функції точок поля М (x, y, z). Позначається як F = F (M) = F (x, y, z) або F = i • P (x, y, z) + j • Q (x, y, z) + k • R (x, y, z), де P, Q, R - коордінатні Функції. Найбільше! Застосування векторні поля отримай в Теорії електромагнітного поля.

Векторне поле назівається потенційнім в деякій області, если его можна представіті у виде F (M) = grad (f (M)). При Авторитети f (M) = f (x, y, z) назівається скалярним потенціалом векторного поля. Если F (M) = {P, Q, R}, то P = partf / partх, Q = partf / party, R = partf / partz. Известно, что для будь скалярної Функції f ротор ее градієнта rot (gradf) = 0. Це Рівність є необхідною и Достатньо умів потенційності F (M). Его можна перефразуваті у виде: part-Q / part-х = part-P / part-y, part-P / part-z = part-R / part-х, part-R / part-y = part-Q / part-z.

Як візначіті bпотенціалі / b точок "class =" colorbox imagefield imagefield-imagelink "rel =" gallery-step-images "> Обчислення потенціалу f потенційного поля F = i • P (x, y, z) + j • Q (x, y, z) + k • R (x, y, z) проводитися на Основі того, что в силу визначення df = F • dr (мається на увазі скалярний добуток). Тоді f =? (Мо М) F • dr =? (Мо М) P • dx + Q • dy + R • dz являє собою кріволінійній інтеграл іншого роду уздовж довільної Лінії від Мо до змінної точці М. Найпростіше використовуват Ламанов, відрізкі якої Паралельні координатних осях (Умова потенційності збігається з умів незалежності кріволінійного інтеграла від шляху інтегрування ) (див. рис. 1).

Приступите до май. Позначте x *, y *, z * координати змінної точки на шляху інтегрування. На відрізку моа y * = yo, z * = zo, dy * = 0, dz * = 0 и? (Мо А) Fdr =? (Xо x) P (x *, yo, zo) • dx * .На АВ x * = x, z * = zo, dx * = 0, dz * = 0 и? (А В) F • dr =? (Yо y) Q (x, y *, zo) • dy * .На ВМ x * = x, y * = y, dx * = 0, dy * = 0 и? (В М) F • dr =? (Zо z) R (x, y, z *) • dz *. Остаточно, f =? (Xо x) P (x *, yo, zo) • dx * +? (Yо y) Q (x, y *, zo) • dy * +? (Zо z) R (x, y, z *) • dz *.

Приклад. Дано векторне поле F (x, y, z) = (2x • y + z) i + (x ^ 2-2y) • j + x • k. Найти его Потенціал в точці М (1,2,1). Рішення. Перевірте, чи є завданні поле потенційнім. Для цього можна обчісліті его ротор, но простіше використовуват рівності part-Q / part-х = part-P / part-y, part-P / part-z = part-R / part-х, part-R / part-y = part-Q / part-z. Тут P = 2x • y + z, Q = x ^ 2-2y, R = x. part-Q / part-х = 2x, part-P / part-y = 2x - перша Рівність виконан. part-P / part-z = 1, part-R / part-х = 2 січня Рівність виконан. part-R / part-y = 0, part-Q / part-z = 0 - виконан и Третє Рівність. Тепер обчісліть Потенціал, прийнять за Початкова точку (0,0,0) - це найпростіше. f =? (0 x) 0 • dx * +? (0 y) • (x ^ 2-y *) • dy * +? (0 z) • x • dz * = (x ^ 2) • yy ^ 2 + x • z. f (1,2,1) = - 1.