ЯК знайти градієнт функції

Градієнт функції - Векторна величина, знаходження якої пов'язане з визначенням приватних похідних функції. Напрямок градієнта вказує шлях якнайшвидшого зростання функції від однієї точки скалярного поля до іншої.

Інструкція

Для вирішення завдання на градієнт функції використовуються методи диференціального числення, а саме знаходження приватних похідних першого порядку за трьома змінним. При цьому передбачається, що сама функція і всі її приватні похідні мають властивість безперервності в області визначення функції.

Градієнт - це вектор, напрям якого вказує напрямок максимально швидкого зростання функції F. Для цього на графіку обираються дві точки M0 і M1, які є кінцями вектора. Величина градієнта дорівнює швидкості зростання функції від точки M0 до точці M1.

Функція дифференцируема у всіх точках цього вектора, отже, проекціями вектора на координатних осях є всі її приватні похідні. Тоді формула градієнта виглядає наступним чином: grad = (? F /? Х) • i + (? F /? Y) • j + (? F /? Z) • k, де i, j, k - координати одиничного вектора. Іншими словами, градієнт функції - це вектор, координатами якого є її приватні похідні grad F = (? F /? Х,? F /? Y,? F /? Z).

Прімер1.Пусть задана функція F = sin (х • z?) / Y. Потрібно знайти її грaдіент в точці (? / 6, 1/4, 1).

Решеніе.Определіте приватні похідні по кожній змінної: F'_х = 1 / y • соs (х • z?) • z? -F'_y = Sin (х • z?) • (-1) • 1 / (y? ) -F'_z = 1 / y • соs (х • z?) • 2 • х • z.

Підставте відомі значення координат точки: F'_x = 4 • соs (? / 6) = 2 • v3- F'_y = sin (? / 6) • (-1) • 16 = -8- F'_z = 4 • соs (? / 6) • 2 •? / 6 = 2 •? / v3.

Застосуйте формулу градієнта функції: grаd F = 2 • v3 • i - 8 • j + 2 •? / V3 • k.

Прімер2.Найдіте координати градієнта функції F = y • arсtg (z / x) в точці (1, 2, 1).

Решеніе.F'_х = 0 • аrсtg (z / х) + y • (аrсtg (z / х)) '_ х = y • 1 / (1 + (z / х)?) • (-z / г?) = -y • z / (х? • (1 + (z / х)?)) = -1-F'_y = 1 • аrсtg (z / х) = аrсtg 1 =? / 4-F'_z = 0 • аrсtg (z / х) + y • (аrсtg (z / х)) '_ z = y • 1 / (1 + (z / х)?) • 1 / х = y / (х • (1 + (z / г)?)) = 1.grаd = (-1,? / 4, 1).