Як знайти радіус кривизни траєкторії

Найбільш часто зустрічаються задачі на визначення радіуса кривизни траєкторії польоту кинутого тіла в заданий проміжок часу. Траєкторія руху в даному випадку описується рівняннями на координатних осях: x = f (t), y = f (t), де t - час, в момент якого потрібно знайти радіус. Його обчислення ґрунтуватиметься на застосуванні формули аn = V? / R. Тут радіус R виявляється з відношення нормального прискорення аn і миттєвої швидкості V руху тіла. Дізнавшись дані величини, можна легко знайти шукану компоненту R.

Обчисліть проекції швидкості тіла на осях (ОХ, ОY). Математичний сенс швидкості - це перша похідна від рівняння руху. Тому вони легко знаходяться взяттям похідною від заданих рівнянь: Vx = x ', Vy = y'. При розгляді геометричного відображення даних проекцій в координатної системі видно, що вони є катетами прямокутного трикутника. Причому гіпотенуза в ньому - шукана миттєва швидкість. Виходячи з цього, обчисліть величину миттєвої швидкості V по теоремі Піфагора: V = v (Vx? + Vy?). Підставляючи у вираз відоме значення часу, знайдіть числовий показник V.

Модуль нормального прискорення також легко визначити, розглянувши другий прямокутний трикутник, утворений модулем повного прискорення а й дотичного прискорення тіла ак. Причому тут нормальне прискорення є катетом і обчислюється так: аn = v (а? - Ак?). Для знаходження дотичного прискорення продіфференціруйте за часом рівняння миттєвої швидкості руху: ак = | dV / dt |. Повне ж прискорення обчисліть за його проекціями на осі, аналогічно знаходженню миттєвої швидкості. Тільки для цього візьміть від заданих рівнянь руху похідні другого порядку: ах = х '', АY = y ''. Модуль прискорення а = v (ах2 + аy2). Підставляючи всі знайдені величини, визначте числове значення нормального прискорення аn = v (а? - Ак?).

Висловіть з формули аn = V? / R шукану змінну радіуса кривизни траєкторії: R = V? / Аn. Підставте числові значення швидкості і прискорення, обчисліть радіус.