ЯК знайти радіус кривизни траєкторії

При розгляді руху тіл використовується ряд характеризують величин, наприклад тангенціальне і нормальне (доцентрове) прискорення, швидкість, а також кривизна траєкторії. Радіус кривизни - геометричне поняття, що означає радіус кола R, по якій рухається тіло. Цей параметр можна знайти за відповідними формулами за допомогою заданої траєкторії руху.

Інструкція

Найбільш часто зустрічаються задачі на визначення радіуса кривизни траєкторії польоту кинутого тіла в заданий проміжок часу. Траєкторія руху в даному випадку описується рівняннями на координатних осях: x = f (t), y = f (t), де t - час, в момент якого потрібно знайти радіус. Його обчислення ґрунтуватиметься на застосуванні формули аn = V? / R. Тут радіус R виявляється з відношення нормального прискорення аn і миттєвої швидкості V руху тіла. Дізнавшись дані величини, можна легко знайти шукану компоненту R.

Обчисліть проекції швидкості тіла на осях (ОХ, ОY). Математичний сенс швидкості - це перша похідна від рівняння руху. Тому вони легко знаходяться взяттям похідною від заданих рівнянь: Vx = x ', Vy = y'. При розгляді геометричного відображення даних проекцій в координатної системі видно, що вони є катетами прямокутного трикутника. Причому гіпотенуза в ньому - шукана миттєва швидкість. Виходячи з цього, обчисліть величину миттєвої швидкості V по теоремі Піфагора: V = v (Vx? + Vy?). Підставляючи у вираз відоме значення часу, знайдіть числовий показник V.

Модуль нормального прискорення також легко визначити, розглянувши другий прямокутний трикутник, утворений модулем повного прискорення а й дотичного прискорення тіла ак. Причому тут нормальне прискорення є катетом і обчислюється так: аn = v (а? - Ак?). Для знаходження дотичного прискорення продіфференціруйте за часом рівняння миттєвої швидкості руху: ак = | dV / dt |. Повне ж прискорення обчисліть за його проекціями на осі, аналогічно знаходженню миттєвої швидкості. Тільки для цього візьміть від заданих рівнянь руху похідні другого порядку: ах = х '', АY = y ''. Модуль прискорення а = v (ах2 + аy2). Підставляючи всі знайдені величини, визначте числове значення нормального прискорення аn = v (а? - Ак?).

Висловіть з формули аn = V? / R шукану змінну радіуса кривизни траєкторії: R = V? / Аn. Підставте числові значення швидкості і прискорення, обчисліть радіус.