Як змінити час і дальність польоту тіла

Нехай тіло кинуто під кутом? до горизонту з початковою швидкістю v0. Початкові координати тіла нехай будуть нульовими: x (0) = 0, y (0) = 0. У проекціях на координатні осі початкова швидкість розкладеться за двома складовими: v0 (x) і v0 (y). Те ж саме відноситься до функції швидкості взагалі. По осі Ox швидкість умовно вважається постійною, по осі Oy змінюється під впливом сили тяжіння. Прискорення вільного падіння g можна прийняти приблизно за 10м / с ?.

Кут?, Під яким кинуто тіло, заданий не випадково. Через нього можна розписати початкову швидкість в координатних осях. Так, v0 (x) = v0 · cos (?), V0 (y) = v0 · sin (?). Тепер можна отримати функцію координатних складових швидкості: v (x) = const = v0 (x) = v0 · cos (?), V (y) = v0 (y) -g · t = v0 · sin (?) - G · t.

Координати тіла x і y залежать від часу t. Таким чином, можна скласти два рівняння залежності: x = x0 + v0 (x) · t + a (x) · t? / 2, y = y0 + v0 (y) · t + a (y) · t? / 2 . Оскільки за умовою x0 = 0, a (x) = 0, то x = v0 (x) · t = v0 · cos (?) · T. Також відомо, що y0 = 0, a (y) = - g (знак «мінус» з'являється від того, що напрямок прискорення вільного падіння g і позитивний напрямок осі Oy протилежні). Тому y = v0 · sin (?) · T-g · t? / 2.

Час польоту можна виразити з формули швидкості, знаючи, що в максимальній точці тіло на мить зупиняється (v = 0), а тривалості «підйому» і «спуску» рівні. Отже, при підстановці v (y) = 0 в рівняння v (y) = v0 · sin (?) - G · t виходить: 0 = v0 · sin (?) - G · t (p), де t (p) - піковий час, «t вершинний». Звідси t (p) = v0 · sin (?) / G. Загальний час польоту тоді виразиться як t = 2 · v0 · sin (?) / G.

Ту ж формулу можна отримати і іншим способом, математичним, з рівняння для координати y = v0 · sin (?) · Tg · t? / 2. Це рівняння можна переписати в трохи зміненому вигляді: y = -g / 2 · t? + V0 · sin (?) · T. Видно, що це квадратична залежність, де y - функція, t - аргумент. Вершиною параболи, яка описує траєкторію, є точка t (p) = [- v0 · sin (?)] / [- 2g / 2]. Мінуси і двійки скорочуються, тому t (p) = v0 · sin (?) / G. Якщо позначити максимальну висоту за H і згадати, що пікова точка є вершиною параболи, по якій рухається тіло, то H = y (t (p)) = v0? Sin? (?) / 2g. Тобто, щоб отримати висоту, треба «t вершинний» підставити в рівняння для координати y.

Отже, час польоту записується як t = 2 · v0 · sin (?) / G. Щоб його змінити, треба відповідно змінювати початкову швидкість і кут нахилу. Чим більше швидкість - тим довше летить тіло. З кутом дещо складніше, адже час залежить не від самого кута, а від його синуса. Максимально можливе значення синуса - одиниця - досягається при куті нахилу в 90 °. Це означає, що найдовше тіло летить тоді, коли його кидають вертикально вгору.

Дальність польоту є кінцевою координатою x. Якщо підставити знайдене вже час польоту в рівняння x = v0 · cos (?) · T, то легко знайти, що L = 2v0? Sin (?) Cos (?) / G. Тут можна застосувати тригонометричну формулу подвійного кута 2sin (?) Cos (?) = Sin (2?), Тоді L = v0? Sin (2?) / G. Синус двох альфа дорівнює одиниці тоді, коли 2? = П / 2,? = П / 4. Таким чином, дальність польоту максимальна в тому випадку, якщо тіло кинути під кутом 45 °.