Як розрахувати довірчий інтервал

Врахуйте, що інтервал (L1 або l2), центральної областю якого буде оцінка l *, а також в якому з імовірністю альфа укладена істинна величина параметра, якраз і буде довірчим інтервалом або відповідним значенням довірчої ймовірності альфа. При цьому сама l * буде ставитися до точкових оцінками. Наприклад, за результатами яких-небудь вибіркових величин випадкового значення Х {x1, x2, ..., xn} необхідно обчислити невідомий параметр показника l, від якого залежатиме розподіл. У цьому випадку одержання оцінки заданого параметра l * буде полягати в тому, що для кожної вибірки потрібно буде поставити деяке значення параметра у відповідність, тобто створити функцію результатів спостереження показника Q, значення якого і буде прийнято рівним оціночної величиною параметра l * у вигляді формули : l * = Q * (x1, x2, ..., xn).

Зверніть увагу, що будь-яка функція за результатами спостереження називається статистикою. При цьому, якщо вона повністю описує розглянутий параметр (явище), тоді її називають достатньою статистикою. А тому як результати спостережень випадкові, то l * буде також випадковою величиною. Завдання розрахунку статистики повинна бути зроблена з урахуванням критеріїв її якості. Тут необхідно враховувати, що закон розподілу оцінки є цілком певним, якщо відомо розподіл щільності ймовірності W (x, l).

Можете розрахувати довірчий інтервал досить просто, якщо вам відомий закон про розподіл оцінки. Приміром, довірчий інтервал оцінки щодо математичного очікування (середньої величини випадкового значення) mx * = (1 / n) * (x1 + x2 + ... + xn). Ця оцінка буде незміщеної, тобто математичне очікування або середнє значення показника буде рівним істинної величиною параметра (М {mx *} = mx).

Можете встановити, що дисперсія оцінки по математичному очікуванню: бх * ^ 2 = Dx / n. На підставі граничної центральної теореми можна зробити відповідний висновок про те, що закон розподілу даної оцінки гауссовский (нормальний). Тому для проведення розрахунків можете використовувати показник Ф (z) - інтеграл ймовірностей. У такому випадку, виберіть довжину довірчого інтервала 2lд, так ви отримаєте: альфа = P {mx-lд (із застосуванням властивості інтеграла ймовірностей за формулою: Ф (-z) = 1 Ф (z)).

Побудуйте довірчий інтервал оцінки математичного очікування: - знайдіть значення формули (альфа + 1) / 2-- виберіть по таблиці інтеграла ймовірності значення, рівне lд / sqrt (Dx / n) - візьміть оцінку істинної дисперсії: Dx * = (1 / n) * ( (x1 - mx *) ^ 2 + (x2 - mx *) ^ 2 + ... + (xn - mx *) ^ 2) - визначте lд-- знайдіть довірчий інтервал за формулою: (mx * -lд, mx * + lд).