ЯК обчислити дисперсію і математичне очікування :: Наука

Дисперсія і математичне очікування є основними характеристиками випадкової події при побудові імовірнісної моделі. Ці величини пов'язані між собою і в сукупності становлять основу для статистичного аналізу вибірки.

Інструкція

Будь-яка випадкова величина має цілу низку числових характеристик, що визначають її ймовірність і ступінь відхилення від істинного значення. Це початкові і центральні моменти різного порядку. Перший початковий момент називається математичним очікуванням, а центральний момент другого порядку - дисперсією.

Математичне очікування випадкової величини являє собою її середнє очікуване значення. Також цю характеристику називають центром розподілу ймовірностей і знаходять шляхом інтегрування за формулою Лебега-Стільтьеса: m =? Xdf (x), де f (x) - функція розподілу, значеннями якої є ймовірності елементів множини x? X.

Виходячи з початкового визначення інтеграла функції, математичне очікування можна представити у вигляді інтегральної суми числового ряду, члени якого складаються з пар елементів множин значень випадкової величини та її ймовірностей в цих точках. Пари пов'язані операцією множення: m =? Xi • pi, інтервал підсумовування становить i від 1 до?.

Наведена формула є наслідком з інтеграла Лебега-Стільтьеса для випадку, коли аналізована величина X дискретна. Якщо ж вона целочисленная, то обчислити математичне очікування можна через виробляє функцію послідовності, яка дорівнює першій похідній функції розподілу ймовірностей при x = 1: m = f '(x) =? k • p_k при 1? k < ?.

Дисперсія випадкової величини використовується для оцінки середнього значення квадрата її відхилення від математичного очікування, а точніше - її розкиду навколо центру розподілу. Таким чином, ці дві величини виявляються пов'язаними формулою: d = (x - m)? .

Підставивши в неї вже відоме уявлення математичного очікування у вигляді інтегральної сумі, можна обчислити дисперсію наступним чином: d =? pi • (xi - m) ?.