ЯК знайти площу криволінійної трапеції

Криволінійна трапеція являє собою фігуру, обмежену графіком неотрицательной і безперервної функції f на проміжку [a- b], віссю OX і прямими x = a і x = b. Для обчислення її площі використовуйте формулу: S = F (b) -F (a), де F - первісна для f.

Вам знадобиться

- олівець;
- ручка;
- лінійка.

Інструкція

Вам необхідно визначити площа криволінійної трапеції, обмеженою графіком функції f (x). Знайдіть первісну F для заданої функції f. Побудуйте криволинейную трапецію.

Знайдіть декілька контрольних точок для функції f, обчисліть координати перетину графіка даної функції з віссю OX, якщо вони є. Зобразіть графічно інші задані лінії. Заштрихуйте шукану фігуру. Знайдіть x = a і x = b. Обчисліть площа криволінійної трапеції, використовуючи формулу S = F (b) -F (a).

Приклад I. Визначте площа криволінійної трапеції, обмеженою лінією y = 3x-x ?. Знайдіть первісну для функції y = 3x-x ?. Це буде F (x) = 3 / 2x? -1 / 3x ?. Функція y = 3x-x? являє собою параболу. Її гілки спрямовані вниз. Знайдіть точки перетину даної кривої з віссю OX.

З рівняння: 3x-x? = 0, випливає, що x = 0 і x = 3. Шукані точки - (0- 0) і (0- 3). Отже, a = 0, b = 3. Знайдіть ще кілька контрольних точок і покажіть графік даної функції. Обчисліть площа заданої фігури за формулою: S = F (b) -F (a) = F (3) -F (0) = 27 / 2-27 / 3-0 + 0 = 13,5-9 = 4,5.

Приклад II. Визначте площа фігури, обмеженої лініями: y = x? і y = 4x. Знайдіть первісні для даних функцій. Це буде F (x) = 1 / 3x? для функції y = x? і G (x) = 2x? для функції y = 4x. За допомогою системи рівнянь знайдіть координати точок перетинань параболи y = x? і лінійної функції y = 4x. Таких точок дві: (0-0) і (4-16).

Знайдіть контрольні точки і покажіть графіки заданих функцій. Легко помітити, що шукана площа дорівнює різниці двох фігур: трикутника, утвореного прямими y = 4x, y = 0, x = 0 і x = 16 і криволінійної трапеції, обмеженої лініями y = x ?, y = 0, x = 0 і x = 16.

Обчисліть площі даних фігур за формулою: S? = G (b) -G (a) = G (4) -G (0) = 32-0 = 32 і S? = F (b) -F (a) = F (4) -F (0) = 64 / 3-0 = 64/3. Отже, площа шуканої фігури S дорівнює S? -S? = 32-64 / 3 = 32/3.