ЯК знайти площу трикутника, якщо відомо три сторони :: формула непрямокутних трикутника якщо відомі дві сторони

Трикутник - одна з найпоширеніших і досліджуваних геометричних фігур. Саме тому існує безліч теорем і формул на знаходження його числових характеристик. Знайти площу довільного трикутника, якщо відомо три сторони, можна за формулою Герона.

Інструкція

Формула Герона - справжня знахідка при вирішенні математичних завдань, адже вона допомагає знайти площу будь-якого довільного трикутника (крім виродженого), якщо відомі його боку. Цей давньогрецький математик цікавився трикутної фігурою виключно з цілочисельними вимірами, площа яких становить також ціле число, проте це не заважає сьогоднішнім вченим, а також школярам і студентам застосовувати її для будь-яких інших.

Для того, щоб скористатися формулою, необхідно знати ще одну числову характеристику - периметр, а точніше, напівпериметр трикутника. Він дорівнює напівсумі довжин всіх його сторін. Це потрібно для того, щоб трохи спростити вираз, що є досить громіздким:

S = 1/4 • v ((АВ + ВС + AC) • (ВС + AC - АВ) • (АВ + AC - ВС) • (АВ + ВС - AC))
р = (АВ + ВС + AC) / 2 - напівпериметр;
S = v (р • (р - АВ) • (р - ВС) • (р - AC)).

Рівність усіх сторін трикутника, який в цьому випадку називається правильним, перетворює формулу в просте вираження:

S = v3 • а? / 4.

Трикутник характеризується однаковою довжиною двох із трьох сторін АВ = ВС і, відповідно, прилеглих кутів. Тоді формула Герона перетвориться в такий вираз:

S = 1/2 • AC • v ((АВ + 1/2 • AC) • (AC - 1/2 • АВ)) = 1/2 • AC • v (АВ? - 1/4 • AC?), де AC - довжина третьої сторони.

Визначити площу трикутника за трьома сторонами можна не тільки за допомогою Герона. Наприклад, нехай в трикутник вписане коло радіуса r. Це означає, що вона стосується всіх його сторін, довжини яких відомі. Тоді площа трикутника можна знайти за формулою, теж пов'язаної з напівпериметр і полягає в простому творі його на радіус вписаного кола:

S = 1/2 • (АВ + ВС + AC) = р • r.

Приклад на застосування формули Герона: нехай задано трикутник зі сторонами а = 5 b = 7 і з = 10. Знайдіть площу.

Рішення

Обчисліть напівпериметр:

р = (5 + 7 + 10) = 11.

Розрахуйте шукану величину:

S = v (11 • (11-5) • (11-7) • (11-10))? 16,2.