ЯК знайти довжини ребер паралелепіпеда по діагоналі

Паралелепіпед - багатогранна геометрична фігура, що володіє декількома цікавими властивостями. Знання цих властивостей допомагає у вирішенні завдань. Існує, наприклад, певний зв'язок між його лінійними і діагональними вимірами, за допомогою якої можна знайти довжини ребер паралелепіпеда по діагоналі.

Інструкція

Паралелепіпед має одну особливість, не властиву іншим фігурам. Його грані попарно паралельні і мають рівні вимірювання та числові характеристики, такі як площа і периметр. Будь-яку пару таких граней можна прийняти за підстави, тоді залишилися будуть складати його бічну поверхню.

Можна знайти довжини ребер паралелепіпеда по діагоналі, проте однієї цієї величини мало. По-перше, зверніть увагу на те, який різновид цієї просторової фігури вам дана. Це може бути правильний паралелепіпед, що володіє прямими кутами і рівними вимірами, тобто куб. У цьому випадку буде достатньо знати довжину однієї діагоналі. У всіх інших випадках повинен бути, як мінімум, ще один відомий параметр.

Діагоналі і довжини сторін в паралелепіпеді пов'язані певним співвідношенням. Ця формула випливає з теореми косинусів і являє собою рівність суми квадратів діагоналей і суми квадратів ребер:
d1? + D2? + D3? + D4? = 4 • а? + 4 • b? + 4 • c ?, де а - довжина, b - ширина і c - висота.

Для куба формула спрощується:
4 • d? = 12 • а?
а = d / v3.

Приклад: знайти довжину сторони куба, якщо його діагональ дорівнює 5 см.
Рішення.
25 = 3 • а?
а = 5 / v3.

Розглянемо прямий паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні підставах, а самі підстави є паралелограма. Його діагоналі попарно рівні і пов'язані з довжинами ребер за наступним принципом:
d1? = А? + B? + C? + 2 • а • b • cos?;

d2? = А? + B? + C? - 2 • а • b • cos?, Де? - Гострий кут між сторонами підстави.

Цією формулою можна скористатися, якщо відомі, наприклад, одна зі сторін і кут або ці величини можуть бути знайдені за іншими умовами завдання. Рішення спрощується, коли всі кути в підставі прямі, тоді:
d1? + D2? = 2 • а? + 2 • b? + 2 • c ?.

Приклад: знайдіть ширину і висоту прямокутного паралелепіпеда, якщо ширина b більше довжини а на 1 см, висота c - в 2 рази більше, а діагональ d - в 3.

Рішення.
Запишіть основну формулу квадрата діагоналі (в прямокутному паралелепіпеді вони рівні):
d? = А? + B? + C ?.

Висловіть всі вимірювання через задану довжину а:
b = а + 1;
c = а • 2;
d = а • 3.
Підставте у формулу:
9 • а? = А? + (А + 1)? + 4 • а?

Вирішіть квадратне рівняння:
3 • а? - 2 • а - 1 = 0
Знайдіть довжини всіх ребер:
а = 1 b = 2- c = 2.