ЯК побудувати перетин площин

Перетин двох площин задає просторову пряму. Будь-яку пряму можна побудувати за двома точками, проводячи її безпосередньо в одній з площин. Завдання вважається рішення, якщо вдалося знайти дві конкретні точки прямий, що у перетині площин.

Інструкція

Нехай пряма задана перетином двох площин (Див. Рис.), Для яких дано їх загальні уравненія.A1x + B1y + C1z + D1 = 0 іA2x + B2y + C2z + D2 = 0. Шукана пряма належить обом цим площинам. Відповідно, можна зробити висновок, що всі її точки можна знайти з рішення системи двох цих рівнянь.

Нехай, для прикладу, площини будуть задані наступними виразами: 4x-3y4z + 2 = 0 і 3x-y-2z-1 = 0.Решать подібну задачу можна будь-яким зручним для вас способом. Нехай z = 0, тоді дані рівняння можна переписати у вигляді: 4x-3y = -2 і 3x-y = 1.

Відповідно, «у» можна виразити таким чином: y = 3x-1. Таким чином, будуть мати місце вирази: 4x-9x + 3 = -2- 5x = 5 x = 1 y = 3-1 = 2. Перша точка шуканої прямий - М1 (1, 2, 0).

Тепер припустімо, що z = 1. З вихідних рівнянь вийде: 1. 4x-3y-1 + 2 = 0 і 3x-y-2-1 = 0 або 4x-3y = -1 і 3x-y = 3. 2. y = 3x-3, тоді перший вираз матиме вигляд 4x-9x + 9 = -1, 5x = 10, x = 2, y = 6-3 = 3. Виходячи з цього, друга точка має координати М2 (2, 3, 1).

Якщо провести через М1 і М2 пряму, то завдання буде вирішено. Тим не менш, можна навести більш наочний спосіб знаходження положення шуканої прямої рівняння - складання канонічного рівняння.

Воно має вигляд (x-x0) / m = (y-y0) / n = (z-z0) / p, тут {m, n, p} = s - координати направляючого вектора прямої. Оскільки в розглянутому прикладі знайдені дві точки шуканої прямої, то її направляючий вектор s = M2M2 = {2-1, 3-2, 1-0} = {1, 1, 1}. В якості M0 (x0, y0, z0) можна взяти будь-яку з точок (М1 або М2). Нехай це буде М1 (1, 2, 0), тоді канонічні рівняння прямої перетину двох площин прийме вигляд: (x-1) = (y-2) = z.