ЯК знайти координати перетину висот у трикутнику

Лінія, проведена з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони, називається його висотою. Знаючи координати вершин трикутника, можна знайти його ортоцентр - точку перетину висот.

Інструкція

Розгляньте трикутник з вершинами A, B, C, координати яких, відповідно (xa, ya), (xb, yb), (xc, yc). Проведіть висоти з вершин трикутника і позначте точку перетину висот як точку О з координатами (x, y), які і необхідно знайти.

Складіть рівняння сторін трикутника. Сторона AB виражається рівнянням (x-xa) / (xb-xa) = (y-ya) / (yb-ya). Наведіть рівняння до виду y = k-x + b: x-yb-x-ya-xa-yb + xa-ya = y-xb-y-xa-ya-xb + ya-xa, що рівносильно y = (( yb-ya) / (xb-xa)) - x + xa- (ya-yb) / (xb-xa) + ya. Позначте кутовий коефіцієнт k1 = (yb-ya) / (xb-xa). Аналогічним чином знайдіть рівняння будь-який інший сторони трикутника. Сторона AC задається формулою (x-xc) / (xa-xc) = (y-yc) / (ya-yc), y = ((ya-yc) / (xa-xc)) - x + xc- (ya -yc) / (xc-xa) + ya. Кутовий коефіцієнт k2 = (yc-yb) / (xc-xb).

Запишіть ураненіе висот трикутника, проведених з вершин B і C. Так як висота, що виходить з вершини B, буде перпендикулярна стороні АС, то її рівняння буде мати вигляд y-ya = (- 1 / k2) - (x-xa). А висота, що проходить перпендикулярно стороні AB і виходить з точки C, буде виражатися у вигляді y-yc = (- 1 / k1) - (x-xc).

Знайдіть точку перетину двох висот трикутника, вирішивши систему з двох рівнянь з двома невідомими: y-ya = (- 1 / k2) - (x-xa) і y-yb = (- 1 / k1) - (x-xb). Висловіть змінну y з обох рівнянь, прирівняти ці вирази і вирішите рівняння щодо x. А потім підставте отримане значення x в одне з рівнянь і знайдіть y.

Розгляньте для найкращого розуміння питання приклад. Нехай дано трикутник з вершинами A (-3, 3), B (5, -1) і C (5, 5). Складіть рівняння сторін трикутника. Сторона AB виражається за формулою (x + 3) / (5 + 3) = (y-3) / (- 1-3) або y = (- 1/2) -x + 3/2, тобто k1 = - 1/2. Сторона AC задається рівнянням (x + 3) / (5 + 3) = (y-3) / (5-3), тобто y = (1/4) -x + 15/4. Кутовий коефіцієнт k2 = 1/4. Рівняння висоти, виходить з вершини C: y-5 = 2- (x-5) або y = 2-x-5, а висоти, виходить з вершини B: y-5 = -4- (x + 1), що є y = -4-x + 19. Вирішіть систему з цих двох рівнянь. Виходить, що ортоцентр має координати (4, 3).