ЯК обчислити векторний твір

Векторне твір - Одна з найбільш поширених дій, використовуваних у векторній алгебрі. Ця операція знайшла широке поширення в науці і техніці. Найбільш наочно і вдало це поняття використовується в теоретичній механіці.

Інструкція

Розгляньте механічну задачу, для вирішення якої потрібне векторне твір. Як відомо, момент сили відносно центру дорівнює добутку цієї сили на її плече (див. Рис. 1а). Плече h в ситуації, представленої на малюнку визначається за формулою h = | OP | sin (? -?) = | OP | sin ?. Тут F прикладена до точці Р. З іншого боку Fh дорівнює площі паралелограма побудованого на векторах ОР і F.

Сила F викликає обертання Р відносно 0. У результаті виходить вектор, спрямований за відомим правилом «буравчика». Тому твір Fh є модулем вектора моменту сили OMo, який перпендикулярний площині, що містить вектори F і OMo.

За визначенням векторний добуток a і b - це вектор с, що позначається с = [а, b] (є й інші позначення, найчастіше через перемножування «хрестиком»). З повинен відповідати таким властивостям: 1) з ортогонален (перпендикулярний) а й b-2) | c | = | a || b | sinф, де ф кут між а і b-3) трійка веторов а, b і з права, тобто найкоротший поворот від a до b проводиться проти годинникової стрілки.

Не вдаючись у подробиці, слід зазначити, що для векторного твори справедливі всі арифметичні дії крім властивості коммутативности (перестановки), тобто [а, b] не дорівнює [b, а] .Геометріческій сенс векторного твори: його модуль дорівнює площі паралелограма (див . рис. 1b).

Знаходження векторного твори согласнопо визначення деколи вельми скрутно. Щоб вирішити поставлене завдання, зручно використовувати дані в координатної формі. Нехай в декартових координатах: a (ax, ay, az) = ax * i + ay * j + az * k, ab (bx, by, bz) = bx * i + by * j + bz * k, де i, j, k - вектори-орти координатних осей.

В даному випадку перемножування за правилами розкриття дужок алгебраїчного виразу. При цьому врахуйте, що sin (0) = 0, sin (? / 2) = 1, sin (3? / 2) = - 1, модуль кожного орта дорівнює 1 і трійка i, j, k права, а самі вектори взаємно ортогональні. Тоді отримаєте: з = [а, b] = (ay * bz- az * by) i- (ax * bz- az * bx) j + (ax * by- ay * bx) k = с ((ay * bz- az * by), (az * bx- ax * bz), (ax * by- * bx)). (1) Ця формула і є правилом обчислення векторного добутку в координатній формі. Її недолік - громіздкість і, як наслідок, важка запам'ятовуваність.

Для спрощення методики обчислення векторного добутку використовуйте вектор-визначник, представлений на малюнку 2.Із даних, наведених на малюнку, випливає, що на наступному кроці розкриття цього визначника, яке велося за його першому рядку, якраз і виникає алгоритм (1). Як бачите, тут немає особливих проблем із запам'ятовуванням.