Як знайти площу перерізу куба

Виберіть умови задачі так, щоб вони були вичерпними, але не надмірними. Січну площину? слід задати загальним рівнянням виду Ax + By + Cz + D = 0, що найкращим чином узгоджується з довільним його вибором. Для завдання куба цілком вистачить координат будь-яких трьох його вершин. Візьміть, наприклад, точки M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3), відповідно до малюнком 1. На цьому малюнку проілюстровано перетин куба. Воно перетинає два бокових ребра і три ребра підстав.

Визначтеся з планом подальшої роботи. Належить шукати координати точок Q, L, N, W, R перетину перетину з відповідними ребрами куба. Для цього доведеться знаходити рівняння прямих, що містять ці ребра, і шукати точки перетину ребер з площиною?. Після цього піде розбиття п'ятикутника QLNWR на трикутники (див. Рис. 2) і обчислення пощади кожного з них за допомогою властивостей векторного добутку. Методика кожен раз одна і та ж. Тому можна обмежитися точками Q і L і площею трикутника? QLN.

Спрямовує вектор h прямій, що містить ребро М1М5 (і точку Q), знайдіть як векторний добуток M1M2 = {x2-x1, y2-y1, z2-z1} і M2M3 = {x3-x2, y3-y2, z3-z2}, h = {m1, n1, p1} = [M1M2? M2M3]. Отриманий вектор є напрямним і для всіх інших бічних ребер. Довжину ребра куба знайдіть як, наприклад,? = V ((x2-x1) ^ 2 + (y2-y1) ^ 2 + (z2-z1) ^ 2). Якщо модуль вектора h | h | ??, то замініть його відповідним колінеарним вектором s = {m, n, p} = (h / | h |) ?. Тепер запишіть рівняння прямої, що містить М1М5 параметрически (див. Рис. 3). Після підстановки відповідних виразів в рівняння січної площини отримаєте А (x1 + mt) + B (y1 + nt) + C (z1 + pt) + D = 0. Визначте t, підставте в рівняння для М1М5 і запишіть координати точки Q (qx, qy, qz) (рис. 3).

Очевидно, що точка М5 має координати М5 (x1 + m, y1 + n, z1 + p). Спрямовує вектор для прямої, що містить ребро М5М8 збігається з М2М3 = {x3-x2, y3-y2, z3-z2}. Потім повторіть попередні міркування щодо точки L (lx, ly, lz) (див. Рис. 4). Все подальше, для N (nx, ny, nz) - точна копія це кроку.

Запишіть вектори QL = {lx-qx, ly-qy, lz-qz} і QN = {nx-qx, ny-qy, nz-qz}. Геометричний сенс їх векторного твори полягає в тому, що його модуль дорівнює площі паралелограма побудованого на векторах. Тому площа? QLN S1 = (1/2) | [QL? QN] |. Дотримуйтесь запропонованою методикою і обчисліть площі трикутників? QNW і? QWR - S1 і S2. Векторний добуток найзручніше знаходити за допомогою вектора-визначника (див. Рис. 5). Запишіть остаточну відповідь S = S1 + S2 + S3.