ЯК знайти площу трикутника, утвореного прямими

Якщо належить знайти площу самого звичайного трикутника, заданого прямими, це автоматично означає, що рівняння цих прямих теж задані. Саме на цьому і буде базуватися відповідь.

Інструкція

Вважайте, що рівняння прямих, на яких лежать сторони трикутника відомі. Це вже гарантує, що всі вони лежать в одній площині і перетинаються між собою. Слід знайти точки перетину, вирішуючи системи, складені з кожної пари рівнянь. При цьому кожна система в обов'язковому порядку буде мати єдине рішення. Задачу ілюструє малюнок 1. Вважайте, що площину зображення належить простору і що рівняння для прямих, задані параметрично. Вони представлені на цьому ж малюнку.

Знайдіть координати точки А (xa, ya, za), що лежить в перетині f1 і f2 і складіть рівняння, де xa = x1 + m1 * t1 або xa = х2 + m2 *? 1. Отже, x1 + m1 * t1 = х2 + m2 *? 1. Для координат ya і za аналогічно. Виникла система (див. Рис. 2). Ця система надлишкова, так як для визначення двох невідомих цілком достатньо двох рівнянь. Це означає, що одне з них є лінійною комбінацією двох інших. Раніше було обумовлено, що рішення гарантоване однозначно. Тому залиште два, на ваш погляд найбільш простих рівняння і, вирішивши їх, знайдете t1 і? 1. Досить і одного з цих параметрів. Після цього знайдіть уа і za. В скороченому вигляді основні формули наведені на тому ж малюнку 2, так як доступний редактор може викликати різночитання формул. Точки В (xb, yb, zb) і С (xc, yc, zc) знайдіть за аналогією з уже записаними виразами. Просто замінюйте «зайві» параметри величинами відповідними кожної з знову застосовуваних прямих, залишаючи незмінною нумерацію індексів.

Підготовчі дії завершені. Відповідь можна отримати на підставі геометричного підходу або алгебраїчного (точніше векторного). Почніть з алгебраїчного. Відомо, що геометричний зміст векторного добутку полягає в тому, що його модуль дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах. Знайдіть, скажімо, вектори AB і AC. АВ = {xb-xa, yb-ya, zb-za}, AC = {xc-xa, yc-ya, zc-za}. Їх векторний добуток [AB? AC] визначте в координатної формі. Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма. Відповідь обчисліть відповідно до формули S = (1/2) | [AB? BC] |.

Для отримання відповіді на основі геометричного підходу знайдіть довжини сторін трикутника. а = | BC | = v ((xb-xa) ^ 2 + (yb-ya) ^ 2 + (zb-za) ^ 2), b = | AC | = v ((xc-xa) ^ 2 + ( yc-ya) ^ 2 + (zc-za) ^ 2), c = | AB | = v ((xc-xb) ^ 2 + (yc-yb) ^ 2 + (zc-zb) ^ 2). Обчисліть напівпериметр p = (1/2) (a + b + c). Визначте площу трикутника за формулою Герона S = v (p (pa) (pb) (pc)).