ЯК знайти бісектрису прямого кута :: як обчислити рівний кут

Один з кутів прямокутного трикутника прямий, тобто становить 90 ?. Це дещо спрощує роботу в порівнянні зі звичайним трикутником, так як існує безліч закономірностей і теорем, що дозволяють легко висловлювати одні величини через інші. Наприклад, спробуйте знайти бісектрису прямого кута, опущену на гіпотенузу.

Вам знадобиться

- прямокутний трикутник;
- відома довжина катетів;
- відома довжина гіпотенузи;
- відомі кути і одна із сторін;
- відомі довжини частин, на які бісектриса ділить гіпотенузу.

Інструкція

В першу чергу знайдіть гіпотенузу. Нехай ваша гіпотенуза буде дорівнює с. Бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу на дві, найчастіше нерівні, частини. Позначте одну з них за х, а інша при цьому буде дорівнює с-х.

Можна вчинити інакше: позначте дві частини за х і у, при цьому буде виконуватися умова х + у = с, його необхідно буде врахувати при вирішенні рівняння.

Скористайтеся наступною теоремою: відносини катетів і відносини прилеглих відрізків, на які бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу, рівні. Тобто розділіть довжину катетів один на одного і прирівняти до відношення х / (с-х). При цьому стежите за тим, щоб в чисельнику стояв прилегла до х катет. Вирішіть отримане рівняння і знайдіть х.

Спробуйте вчинити по-іншому: висловіть катети через гіпотенузу і кут?. При цьому прилежащий катет буде дорівнює с * cos ?, а протилежний - з * sin ?. Рівняння в цьому випадку вийде в наступному вигляді: х / (с-х) = с * cos? / С * sin ?. Після спрощення х = с * cos? / (Sin? + Cos?).

Дізнавшись довжину відрізків, на які бісектриса прямого кута розділила гіпотенузу, знайдіть довжину самої гіпотенузи за допомогою теореми синусів. Кут між катетом і бісектрисою вам відомий - 45 ?, дві сторони внутрішнього трикутника теж.

Підставте дані в теорему синусів: х / sin45? = L / sin ?. Спростивши вираз, ви отримаєте l = 2xsin? / V2. Підставте знайдене значення х: l = 2c * cos? * Sin? / V2 (sin? + Cos?) = C * sin2? / 2cos (45? -?). Це і є бісектриса прямого кута, виражена через гіпотенузу.

Якщо вам дано катети, у вас є два варіанти: або знайдіть довжину гіпотенузи по теоремі Піфагора, згідно з якою сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи і вирішуйте зазначеним вище способом. Або скористайтеся наступною готової формулою: l = v2 * ab / (a + b), де a і b - довжини катетів.