ЯК по точках знайти функцію

У багатьох випадках дані статистики або вимірювань будь-якого процесу бувають представлені у вигляді набору дискретних значень. Але для того, щоб на їх основі побудувати безперервний графік, потрібно по цим точкам знайти функцію. Зробити це можна шляхом інтерполяції. Для цього добре підходить поліном Лагранжа.

Вам знадобиться

- папір;
- олівець.

Інструкція

Визначте ступінь полінома, який буде використаний для інтерполяції. Він має вигляд: Кn * Х ^ n + К (n-1) * Х ^ (n-1) + ... + К0 * Х ^ 0. Число n тут на 1 менше кількості відомих точок з різними Х, через які має проходити результуюча функція. Тому просто перерахуйте точки і відніміть від отриманого значення одиницю.

Визначте загальної вид шуканої функції. Оскільки Х ^ 0 = 1, то вона прийме вигляд: f (Хn) = Кn * Х ^ n + К (n-1) * Х ^ (n-1) + ... + К1 * Х + К0, де n - знайдене на першому кроці значення ступеня полінома.

Почніть складання системи лінійних алгебраїчних рівнянь з метою знаходження коефіцієнтів інтерполюючого полінома. Початковий набір точок задає ряд відповідностей значень координат Хn шуканої функції по осі абсцис і осі ординат f (Хn). Тому почергова підстановка величин Хn в поліном, значення якого буде дорівнює f (Хn), дозволяє отримати потрібні рівняння:
Кn * Хn ^ n + К (n-1) * Хn ^ (n-1) + ... + К1 * Хn + К0 = f (Хn)
Кn * Х (n-1) ^ n + К (n-1) * Х (n-1) ^ (n-1) + ... + К1 * Х (n-1) + К0 = f (Х ( n-1))
...

Кn * Х1n + К (n-1) * Х1 ^ (n-1) + ... + К1 * Х1 + К0 = f (Х1).

Уявіть систему лінійних алгебраїчних рівнянь в зручному для вирішення вигляді. Обчисліть значення Хn ^ n ... Х1 ^ 2 і Х1 ... Хn, а потім підставте їх у рівняння. При цьому значення (також відомі) перенесіть в ліву частину рівнянь. Вийде система виду:
СNN * Кn + Сn (n-1) * К (n-1) + ... + Сn1 * К1 + К0 - Сn = 0
С (n-1) n * Кn + С (nq) (n-1) * К (n-1) + ... + С (n-1) 1 * К1 + К0 - С (n-1) = 0
...
С1n * Кn + С1 (n-1) * К (n-1) + ... + С11 * К1 + К0 - С1 = 0
Тут СNN = Хn ^ n, а Сn = f (Хn).

Вирішіть систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Використовуйте будь-який відомий спосіб. Наприклад, метод Гаусса або Крамера. В результаті рішення будуть отримані значення коефіцієнтів полінома Кn ... К0.

Знайдіть функцію по точкам. Підставте коефіцієнти Кn ... К0, знайдені в попередньому кроці, в поліном Кn * Х ^ n + К (n-1) * Х ^ (n-1) + ... + К0 * Х ^ 0. Цей вираз і буде рівнянням функції. Тобто шукана f (Х) = Кn * Х ^ n + К (n-1) * Х ^ (n-1) + ... + К0 * Х ^ 0.