ЯК знайти зворотну функцію для даної

Зворотною функцією називають функцію, звертайтеся вихідну залежність у = f (x) таким чином, що аргумент х і функція у міняються ролями. Тобто х стає функцією від y (х = f (у)). При цьому графіки взаємно обернених функцій у = f (x) і х = f (у) симетричні по відношенню до осі ординат в першій і третій координатних чвертях декартової системи. Областю визначення оберненої функції є область значень вихідної, а областю значень в свою чергу - область визначення заданої функції.

Інструкція

У загальному випадку при знаходженні оберненої функції для заданої у = f (x) висловіть аргумент х через функцію у. Для цього скористайтеся правилами множення обох частин рівності на одне і те ж значення, перенесенням многочленів виразів, при цьому враховуйте зміну знака. У простому випадку розгляду показових функцій виду: y = (7 / x) + 11, звернення аргументу х виробляється елементарно: 7 / x = у-11, х = 7 * (у-11). Шукана зворотна функція має вигляд х = 7 * (у-11).

Однак найчастіше у функціях використовуються складні статечні і логарифмічні вирази, а також тригонометричні функції. У цьому випадку при знаходженні зворотної функції потрібно враховувати відомі властивості даних математичних виразів.

Якщо у вихідній функції аргумент х стоїть під ступенем, для отримання зворотної функції візьміть від даного виразу корінь з тим же показником. Наприклад, для заданої функції у = 7 + х? зворотна буде мати вигляд: f (у) = Vу -7.

При розгляді функції, де аргумент х являє собою ступінь постійного числа, застосуйте визначення логарифма. З нього випливає, що для функції f (х) = ах зворотного буде f (у) = logаy, причому підставу логарифма а - в обох випадках число, відмінне від нуля. Так само і навпаки, розглядаючи вихідну логарифмічну функцію f (х) = logах, її зворотна функція являє собою статечне вираз: f (у) = ау.

В окремому випадку дослідження функції, що містить натуральний логарифм ln х або десятковий lg х, тобто логарифми по підставі числа е і 10 відповідно, отримання зворотної функції проводиться аналогічно, тільки замість підстави а підставляється експоненціальне число або число 10. Наприклад, f (х) = lg х -> f (у) = 10у і f (х) = ln х -> f (у) = еу.

Для тригонометричних функцій зворотними один до одного є наступні пари:
- y = cos x -> x = аrccos y;

- y = sin x -> x = аrcsin y;
- y = tan x -> x = аrctan y.